ARToolKitの解析　その①　変換行列の計算

安定化の次は、プログラムの高速化などをやってみようと思ってましたが、
高速化のためには、ARToolKitのソースをもっと理解していなければなりません。

そこで、次に「ARToolKitの解析」を行うことにしました。


解析のその１は、変換行列の計算アルゴリズムの解説をやってみます。
ここでいう変換行列とは、マーカー（オブジェクト）座標系から、グローバル（カメラ）座標系へ変換する行列のことです。

これは、ARToolKitの重要な仕組みの１つです。



---- < 変換行列計算の概要 > ----



BGM：エコテロニカ（sansuiさん）

 OpenGLなどの３DCGでは、３Dモデルの移動・回転などを行うために、座標系の変換行列を用います。
ARToolKitの場合も、この変換行列がないと、マーカー上にモデルを表示できません。

プログラムでは、スクリーン上に映ったマーカーの画像から、この変換行列を計算しています。
計算のプロセスは、大まかに以下のようになります。

１．マーカーの黒い四角形を認識する
２．四角形の枠である、４辺を計算する
３．それぞれの辺を、カメラの投影方向に伸ばし、面を作る
４．面の法線を計算
５．向かい合った面同士の法線から、外積を計算する
６．その外積同士から、さらに外積を計算
７．現在わかっている式を用いて、行列の残り値を計算する

今回は"スクリーン上の４角形の４辺"から、"変換行列の３×３の要素"を計算するとこまでを中心に、解説していきます。



---- < １．マーカーの黒い四角形を認識 > ----

四角形の認識ではまず、カメラに映った画像を２値化（白黒に）します。
そして、その白黒画像から、４角形を探します。
さらに、見つけた４角形が登録されているマーカーかどうか調べます。

この部分の詳しいアルゴリズムについては、後日解説するつもりです。



---- < ２．四角形の枠である、４辺を計算する > ----

ここも、１と一緒に解説いたします。



---- < ３．それぞれの辺を、カメラの投影方向に伸ばし、面を作る > ----

４角形の辺が取得できたら、この辺を伸ばして、面にします。
伸ばし方は、辺がスクリーンへ投影された方向に伸ばします。

つまりこの面は、３次元空間上のマーカーの４辺も通ることになります。
カメラの視点、２Dのマーカーの辺、3Dのマーカーの辺を繋ぐ面です。



---- < ４．面の法線を計算 > ----

それぞれの面の法線（面に対して、垂直なベクトル）を計算します。



---- < ５．向かい合った面同士の法線から、外積を計算する > ----

法線が計算できたら、向かい合った面同士の法線から、外積を計算します。
外積は、２つの法線に対し垂直になります。

この外積は、マーカー座標系の１つの軸を表すベクトルになります。



---- < ６．その外積同士から、さらに外積を計算 > ----

さらに、外積同士の外積をとります。
この３つの外積が、それぞれマーカー座標系のX軸, Y軸, Z軸になります。

さらに値を補正すると、変換行列の３×３の要素になるわけです。



---- < ８．現在わかっている式を用いて、行列の残り値を計算する > ----

変換行列の３×３の要素は、回転や拡大縮小を表しています。
変換行列に必要な残りの要素は、平行移動です。

平行移動分を計算するには、それまでに用いられた行列等の式を使い、答えを出します。



以上が、僕が理解できた範囲でのアルゴリズムの説明です。
間違いや不足があった場合には、連絡をお願いします。